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title: ECSE 1010 概念验证 - Omega Lab01
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description: 本文展示了ECSE 1010 Omega Lab01的综合概念验证，重点探讨了欧姆定律、基尔霍夫电流定律（KCL）、基尔霍夫电压定律（KVL）、分压器原理及电路中的电流流动等电气工程基础。内容涵盖详细的电路图设计、分析过程、仿真模拟以及实验测量数据，以验证理论知识的正确性。
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keywords: ["欧姆定律", "基尔霍夫电流定律", "基尔霍夫电压定律", "分压器", "电流流动", "电气工程", "电路分析", "仿真", "测量"]
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- ECSE 1010
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- Electrical Engineering
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summary: 本文展示了ECSE 1010 Omega Lab01的综合概念验证，重点探讨了欧姆定律、基尔霍夫电流定律（KCL）、基尔霍夫电压定律（KVL）、分压器原理及电路中的电流流动等电气工程基础。内容涵盖详细的电路图设计、分析过程、仿真模拟以及实验测量数据，以验证理论知识的正确性。
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# See details front matter: https://fixit.lruihao.cn/documentation/content-management/introduction/#front-matter
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## 0. 参考文档
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## 1. 验证欧姆定律、KCL 和 KVL 在电路中的应用
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### 电路图示
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{{< image src="Proof%20of%20Concept%20-%20Omega%20Lab%2001%20-%201%20-%20Schematic.avif" caption="概念验证 - Omega 实验室 01 - 1 - 图纸" width=600px >}}
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### 描述
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- 根据欧姆定律，电压等于电流乘以电阻。因此，我们将用伏特表测量实际值并与理论值进行比较。
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- 根据 KCL（基尔霍夫电流定律），流入节点的总电流等于流出该节点的总电流。所以我们要测量所有电流并相加来验证是否符合理论。
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||
- 根据 KVL（基尔霍夫电压定律），在回路中的各个节点电压总和为零。因此，我们将测量整个回路的所有电压，并检查它们的总和。
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### 分析
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我们知道，欧姆定律、KCL 和 KVL 可以表示成以下公式：
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$$
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V = IR \\\
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\sum I_{in} = \sum I_{out} \\\
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\sum V_n = 0
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$$
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***
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基于 $V = IR$，总电流应为
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$$
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\begin{align*}
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V &= IR \\\
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||
I &= \frac{V}{R} \\\
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||
I_{total} &= \frac{5}{10K + \cfrac{1}{\frac{1}{1K} + \frac{1}{1K}} + 10K} \\\
|
||
I_{total} &= \frac{5}{10000 + 500 + 10000} \\\
|
||
I_{total} &= 0.000243902439 \\\
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||
\end{align*}
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$$
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||
并且 $I(R2) = I(R3)$ 应为
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$$
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\begin{align*}
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||
I(R2) = I(R3) &= I_{total} \times \frac{R2}{R2 + R3} \\\
|
||
I(R2) = I(R3) &= 0.000243902439 \times \frac{1000}{1000 + 1000} \\\
|
||
I(R2) = I(R3) &= 0.0001219512195
|
||
\end{align*}
|
||
$$
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||
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***
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||
为了找到 $V(R1)$、$V(R2)=V(R3)$ 和 $V(R4)$，我们可以使用以下公式：
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$$
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\begin{align*}
|
||
V(R1) = V(R4) &= V_{total} \times \frac{R1}{R1 + R2 \Vert R3 + R4} \\\
|
||
V(R1) = V(R4) &= 5 \times \frac{10000}{10000 + 500 + 10000} \\\
|
||
V(R1) = V(R4) &= 2.4390244
|
||
\end{align*}
|
||
$$
|
||
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||
$$
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||
\begin{align*}
|
||
V(R2) = V(R3) &= V_{total} - (V(R1) + V(R4)) \\\
|
||
V(R2) = V(R3) &= 5 - 2.4390244 - 2.4390244 \\\
|
||
V(R2) = V(R3) &= 0.1219512
|
||
\end{align*}
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||
$$
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||
***
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||
根据 KCL，我们应看到 $I(R1) = I(R2) + I(R3)$，因为 $I(R1)$ 是流入节点 `n002` 的电流而 $I(R2) + I(R3)$ 是流出该节点的电流。
|
||
|
||
根据 KVL，在同一个回路中的电压总和为零。因此，我们应期望 $V(n001) - V(n002) - V(n003) = 0$。我们将检查实验结果是否符合这些预期。
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||
### 模拟
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{{< figure src="Proof%20of%20Concept%20-%20Omega%20Lab%2001%20-%201%20-%20Simulation.avif" caption="概念验证 - Omega 实验室 01 - 1 - 模拟结果" width=600px >}}
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||
```text
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--- Operating Point ---
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||
V(n001): 5 voltage
|
||
V(n002): 2.56098 voltage
|
||
V(n003): 2.43902 voltage
|
||
I(R1): -0.000243902 device_current
|
||
I(R2): 0.000121951 device_current
|
||
I(R3): 0.000121951 device_current
|
||
I(R4): 0.000243902 device_current
|
||
I(V1): -0.000243902 device_current
|
||
```
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||
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||
### 测量
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{{< figure src="Proof%20of%20Concept%20-%20Omega%20Lab%2001%20-%201%20-%20Measurement.avif" caption="概念验证 - Omega 实验室 01 - 1 - 测量结果" width=600px >}}
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||
$V(R1) = 2.4963V$
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{{< figure src="Proof%20of%20Concept%20-%20Omega%20Lab%2001%20-%201%20-%20Measurement%20-%201.avif" caption="概念验证 - Omega 实验室 01 - 1 - 测量结果 - 1" width=600px >}}
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||
$V(R2) = V(R3) = 166.5mV$
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{{< figure src="Proof%20of%20Concept%20-%20Omega%20Lab%2001%20-%201%20-%20Measurement%20-%202.avif" caption="概念验证 - Omega 实验室 01 - 1 - 测量结果 - 2" width=600px >}}
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||
$V(R4) = 2.4616V$
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{{< figure src="Proof%20of%20Concept%20-%20Omega%20Lab%2001%20-%201%20-%20Measurement%20-%203.avif" caption="概念验证 - Omega 实验室 01 - 1 - 测量结果 - 3" width=600px >}}
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||
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||
### 讨论
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||
首先，让我们比较理论值与实验测量值。
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我们从 Analog Discovery 3 获取了以下实验读数：
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```text
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V(R1) = 2.4963V
|
||
V(R2) = V(R3) = 166.5mV
|
||
V(R4) = 2.4616V
|
||
```
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||
为了找到 $V(R1)$、$V(R2)=V(R3)$ 和 $V(R4)$ 的理论值，我们需要做一些计算。
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||
我们知道模拟输出为：
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||
|
||
```text
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||
V(n001): 5 voltage
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||
V(n002): 2.56098 voltage
|
||
V(n003): 2.43902 voltage
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||
```
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||
电压是指两个点之间的电位差。基于这一点，我们可以计算 $V(R1)$、$V(R2)=V(R3)$ 和 $V(R4)$ 的理论值。
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$$
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||
\begin{align*}
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||
V(R1) &= V(n001) - V(n002) \\\
|
||
V(R1) &= 5 - 2.56098 \\\
|
||
V(R1) &= \boxed{2.43902}
|
||
\end{align*}
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||
$$
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||
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$$
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||
\begin{align*}
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||
V(R2) = V(R3) &= V(n002) - V(n003) \\\
|
||
V(R2) = V(R3) &= 2.56098 - 2.43902 \\\
|
||
V(R2) = V(R3) &= \boxed{0.12196}
|
||
\end{align*}
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||
$$
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||
|
||
$$
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||
\begin{align*}
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||
V(R4) &= V(n003) - V(\text{GND}) \\\
|
||
V(R4) &= 2.43902 - 0 \\\
|
||
V(R4) &= \boxed{2.43902}
|
||
\end{align*}
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||
$$
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||
|
||
让我们做一个表格来比较结果：
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||
|
||
|项目|分析值|模拟值|实验值|差值|误差百分比|
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||
|:-:|:-:|:-:|:-:|:-:|-:|
|
||
|$V(R1)$|$2.4390V$|$2.4390V$|$2.4963V$|$57.28mV$|$2.3\%$|
|
||
|$V(R2)$|$0.1219V$|$0.1219V$|$0.1665V$|$44.54mV$|$26.8\%$|
|
||
|$V(R3)$|$0.1219V$|$0.1219V$|$0.1665V$|$44.54mV$|$26.8\%$|
|
||
|$V(R4)$|$2.4390V$|$2.4390V$|$2.4616V$|$22.58mV$|$0.9\%$|
|
||
|
||
我们可以看到 $V(R1)$ 和 $V(R4)$ 的准确性非常高。但 $V(R2)$ 和 $V(R3)$ 误差较大，可能的原因是存在背景噪声。
|
||
|
||
如果查看“测量”部分，通道 2 是空的，但它仍然有大约 $50mV$ 的读数。这很可能是背景噪声。如果我们从实验测量中去除这种噪声，则误差百分比将小于 $1\%$。考虑到电阻的容差为 $5\%$（来自四色环电阻代码），我们可以认为这是系统误差，而实验测量结果与模拟非常接近。
|
||
|
||
***
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||
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||
现在，让我们检查 KCL。
|
||
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||
我们得到了以下模拟数据：
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||
|
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```text
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||
I(R1): -0.000243902 device_current
|
||
I(R2): 0.000121951 device_current
|
||
I(R3): 0.000121951 device_current
|
||
I(R4): 0.000243902 device_current
|
||
I(V1): -0.000243902 device_current
|
||
```
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||
|
||
根据分析结果，我们应看到 $I(R1) = I(R2) + I(R3)$。验证如下：
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||
$$
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||
\begin{align*}
|
||
& \quad \thickspace I(R1) + I(R2) + I(R3) \\\
|
||
&= -0.000243902 + 0.000121951 + 0.000121951 \\\
|
||
&= \boxed{0}
|
||
\end{align*}
|
||
$$
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||
|
||
KCL 很可能为真。
|
||
|
||
***
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||
然后，让我们检查 KVL。
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||
|
||
我们可以使用前面部分的结果：
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||
$$
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||
\begin{align*}
|
||
V(R1) &= 2.43902 \\\
|
||
V(R2) = V(R3) &= 0.12196 \\\
|
||
V(R4) &= 2.43902
|
||
\end{align*}
|
||
$$
|
||
|
||
根据分析结果，我们应期望 $V(n001) - V(n002) - V(n003) = 0$。验证如下：
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||
$$
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||
\begin{align*}
|
||
& \quad \thickspace V(n001) - V(n002) - V(n003) \\\
|
||
&= 2.43902 - 0.12196 - 0.12196 \\\
|
||
&= 0 \\\
|
||
& \boxed{\text{True}}
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||
\end{align*}
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||
$$
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||
|
||
KVL 很可能为真。
|
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|
||
***
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||
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||
最后，让我们检查欧姆定律。使用期望 $V = IR$ 和实验数据：
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```text
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||
R1 = 10K
|
||
R2 = R3 = 1K
|
||
R4 = 10K
|
||
V(R1) = 2.4963V
|
||
V(R2) = V(R3) = 166.5mV
|
||
V(R4) = 2.4616V
|
||
```
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||
|
||
根据欧姆定律计算 $I$。
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||
$$
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||
\begin{align*}
|
||
V &= IR \\\
|
||
I &= \frac{V}{R} \\\
|
||
I(R1) &= \frac{2.4963}{10000} = \boxed{0.00024963}
|
||
\end{align*}
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||
$$
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||
|
||
$$
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||
\begin{align*}
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||
V &= IR \\\
|
||
I &= \frac{V}{R} \\\
|
||
I(R2) = I(R3) &= \frac{0.1665}{1000} = \boxed{0.0001665}
|
||
\end{align*}
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||
$$
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||
|
||
$$
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||
\begin{align*}
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||
V &= IR \\\
|
||
I &= \frac{V}{R} \\\
|
||
I(R4) &= \frac{2.4616}{10000} = \boxed{0.00024616}
|
||
\end{align*}
|
||
$$
|
||
|
||
然后，我们可以将这些电流结果与模拟数据进行比较。
|
||
|
||
|项目|分析值|模拟值|实验值|差值|误差百分比|
|
||
|:-:|:-:|:-:|:-:|:-:|-:|
|
||
|$I(R1)$|$0.2439mA$|$0.2439mA$|$0.2496mA$|$0.005728mA$|$2.3\%$|
|
||
|$I(R2)$|$0.1665mA$|$0.1665mA$|$0.1219mA$|$0.044549mA$|$26.8\%$|
|
||
|$I(R3)$|$0.1665mA$|$0.1665mA$|$0.1219mA$|$0.044549mA$|$26.8\%$|
|
||
|$I(R4)$|$0.2439mA$|$0.2439mA$|$0.2461mA$|$0.002258mA$|$0.9\%$|
|
||
|
||
我们可以看到 $I(R1)$ 和 $I(R4)$ 的准确性非常高。但 $I(R2)$ 和 $I(R3)$ 误差较大，可能的原因是存在背景噪声。
|
||
|
||
如果查看“测量”部分，通道 2 是空的，但它仍然有大约 $50mV$ 的读数。这很可能是背景噪声。如果我们从实验测量中去除这种噪声，则误差百分比将小于 $1\%$。考虑到电阻的容差为 $5\%$（来自四色环电阻代码），我们可以认为这是系统误差，而实验测量结果与模拟非常接近。
|
||
|
||
此外，我们还可以检查整个电路中的总电流。根据分析中的期望 - $I_{total} = 0.000243902439$，这与模拟结果一致 - $0.000243902A$。
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***
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||
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||
总之，模拟完全符合 KCL 和 KVL 的要求。实验数据接近于模拟值，并且如果去除背景噪声并考虑电阻的 $5\%$ 容差，则实验测量结果非常接近于模拟值。然后我们使用实验数据和欧姆定律来比较模拟结果，结果显示也非常接近。因此，我们在电路中验证了欧姆定律、KCL 和 KVL。
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## 2. 验证串联电路中分压器的概念
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### 电路图示
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{{< figure src="Proof%20of%20Concept%20-%20Omega%20Lab%2001%20-%202%20-%20Schematic.avif" caption="概念验证 - Omega 实验室 01 - 2 - 图纸" width=600px >}}
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||
|
||
### 描述
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我将构建一个串联电路，其中包含两个电阻，并测量这些电阻上的电压以与理论值进行比较。
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||
### 分析
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分压器公式为：
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$$
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\frac{V_1}{V_2} = \frac{R_1}{R_2}
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$$
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||
如果电源电压为 $5V$ 且 $R1=R2=10K$，将这些值代入公式得到：
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$$
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||
\frac{V_1}{V_2} = \frac{10K}{10K} = \frac{1}{1}
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||
$$
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||
|
||
我们知道 $V_1 + V_2 = 5$ 并且 $1 \cdot V_1 = 1 \cdot V_2$。因此，我们期望 $V_1 = V_2 = 2.5$。
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||
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||
### 模拟
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{{< figure src="Proof%20of%20Concept%20-%20Omega%20Lab%2001%20-%202%20-%20Simulation.avif" caption="概念验证 - Omega 实验室 01 - 2 - 模拟结果" width=600px >}}
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||
|
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```text
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--- Operating Point ---
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||
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||
V(n001): 5 voltage
|
||
V(n002): 2.5 voltage
|
||
I(R1): -0.00025 device_current
|
||
I(R2): -0.00025 device_current
|
||
I(V1): -0.00025 device_current
|
||
```
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||
|
||
### 测量
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||
|
||
{{< figure src="Proof%20of%20Concept%20-%20Omega%20Lab%2001%20-%202%20-%20Measurement.avif" caption="概念验证 - Omega 实验室 01 - 2 - 测量结果" width=600px >}}
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||
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||
$V(R1) = 2.5539V$
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{{< figure src="Proof%20of%20Concept%20-%20Omega%20Lab%2001%20-%202%20-%20Measurement%20-%201.avif" caption="概念验证 - Omega 实验室 01 - 2 - 测量结果 - 1" width=600px >}}
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||
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||
$V(R2) = 2.5204V$
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||
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{{< figure src="Proof%20of%20Concept%20-%20Omega%20Lab%2001%20-%202%20-%20Measurement%20-%202.avif" caption="概念验证 - Omega 实验室 01 - 2 - 测量结果 - 2" width=600px >}}
|
||
|
||
### 讨论
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||
首先，让我们比较理论值与实验测量值。
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我们从 Analog Discovery 3 获取了以下实验读数：
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```text
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||
V(R1) = 2.5539V
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||
V(R2) = 2.5204V
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||
```
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||
电压是指两个点之间的电位差。基于这一点，我们可以计算 $V(R1)$ 和 $V(R2)$ 的理论值。
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||
|
||
我们知道模拟输出为：
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```text
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V(n001): 5 voltage
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||
V(n002): 2.5 voltage
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||
```
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||
$$
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||
\begin{align*}
|
||
V(R1) &= V(n001) - V(n002) \\\
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||
V(R1) &= 5 - 2.5 \\\
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||
V(R1) &= \boxed{2.5}
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||
\end{align*}
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||
$$
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$$
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\begin{align*}
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||
V(R2) &= V(n002) - \text{GND} \\\
|
||
V(R2) &= 2.5 - 0 \\\
|
||
V(R2) &= \boxed{2.5}
|
||
\end{align*}
|
||
$$
|
||
|
||
让我们做一个表格来比较结果：
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||
|
||
|项目|分析值|模拟值|实验值|差值|误差百分比|
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||
|:-:|:-:|:-:|:-:|:-:|-:|
|
||
|$V(R1)$|$2.5V$|$2.5V$|$2.5539V$|$0.0539V$|$2.1\%$|
|
||
|$V(R2)$|$2.5V$|$2.5V$|$2.5204V$|$0.0204V$|$0.8\%$|
|
||
|
||
我们可以看到 $V(R1)$ 和 $V(R2)$ 的准确性非常高。有一些误差，可能的原因是存在背景噪声。
|
||
|
||
如果查看“测量”部分，通道 2 是空的，但它仍然有大约 $40mV$ 的读数。这很可能是背景噪声。如果我们从实验测量中去除这种噪声，则误差百分比将小于 $1\%$。考虑到电阻的容差为 $5\%$（来自四色环电阻代码），我们可以认为这是系统误差，而实验测量结果与模拟非常接近。
|
||
|
||
总之，模拟完全符合分压器理论公式的要求。实验读数接近于理论值，并且如果去除背景噪声，则实验读数非常接近于理论值。因此，我们在串联电路中验证了分压器的概念。
|
||
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||
## 3. 验证电流在串联电路中流动的概念
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### 电路图示
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{{< figure src="Proof%20of%20Concept%20-%20Omega%20Lab%2001%20-%202%20-%20Schematic.avif" caption="概念验证 - Omega 实验室 01 - 2 - 图纸" width=600px >}}
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||
### 描述
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我将使用欧姆定律来找出串联电路中每个电阻中的电流，并将其与理论值进行比较。
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### 分析
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串联电路的特点是：
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||
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||
- 只有一条路径供电流通过电路。
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- 在电路的任何一点，电流都相同。
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||
由于 Analog Discovery 3 不能直接测量电流而是测量电压。我们将使用欧姆定律来找出流过电阻的电流。
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||
我们知道从欧姆定律的关系为：
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$$
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V = IR
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$$
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可以稍作变换得到：
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$$
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I = \frac{V}{R}
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$$
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|
||
另外，我们还知道 $R_1 = R_2 = 10K$，并且可以通过分压器公式找到电阻上的电压。即：
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||
$$
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||
\begin{align*}
|
||
\frac{V_1}{V_2} &= \frac{R_1}{R_2} \\\
|
||
\frac{V_1}{V_2} &= \frac{10K}{10K} = 1
|
||
\end{align*}
|
||
$$
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||
|
||
我们知道 $V_1 + V_2 = 5$ 并且 $V_1 = V_2$。因此，我们期望 $V_1 = V_2 = 2.5$。
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||
使用这些值，我们可以计算出 $I(R1)$ 和 $I(R2)$：
|
||
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||
$$
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||
\begin{align*}
|
||
I(R1) = I(R2) &= \frac{V}{R} \\\
|
||
I(R1) = I(R2) &= \frac{2.5}{10K} \\\
|
||
I(R1) = I(R2) &= \boxed{0.00025}
|
||
\end{align*}
|
||
$$
|
||
|
||
我们期望 $I(R1)$ 和 $I(R2)$ 为 $0.00025A$。
|
||
|
||
### 模拟
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||
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||
{{< figure src="Proof%20of%20Concept%20-%20Omega%20Lab%2001%20-%202%20-%20Simulation.avif" caption="概念验证 - Omega 实验室 01 - 2 - 模拟结果" width=600px >}}
|
||
|
||
```text
|
||
--- Operating Point ---
|
||
|
||
V(n001): 5 voltage
|
||
V(n002): 2.5 voltage
|
||
I(R1): -0.00025 device_current
|
||
I(R2): -0.00025 device_current
|
||
I(V1): -0.00025 device_current
|
||
```
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||
|
||
### 测量
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||
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{{< figure src="Proof%20of%20Concept%20-%20Omega%20Lab%2001%20-%202%20-%20Measurement.avif" caption="概念验证 - Omega 实验室 01 - 2 - 测量结果" width=600px >}}
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||
|
||
$V(R1) = 2.5539V$
|
||
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{{< figure src="Proof%20of%20Concept%20-%20Omega%20Lab%2001%20-%202%20-%20Measurement%20-%201.avif" caption="概念验证 - Omega 实验室 01 - 2 - 测量结果 - 1" width=600px >}}
|
||
|
||
$V(R2) = 2.5204V$
|
||
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||
{{< figure src="Proof%20of%20Concept%20-%20Omega%20Lab%2001%20-%202%20-%20Measurement%20-%202.avif" caption="概念验证 - Omega 实验室 01 - 2 - 测量结果 - 2" width=600px >}}
|
||
|
||
### 讨论
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||
|
||
从模拟结果中，
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```text
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I(R1): -0.00025 device_current
|
||
I(R2): -0.00025 device_current
|
||
```
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||
|
||
这证明了 $I(R1) = I(R2)$，即：
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||
|
||
- 只有一条路径供电流通过电路。
|
||
- 在电路的任何一点，电流都相同。
|
||
|
||
***
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||
从测量结果中，我们得到了电阻 $R1$ 和 $R2$ 上的电压
|
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$V(R1) = 2.5539V$
|
||
$V(R2) = 2.5204V$
|
||
|
||
基于欧姆定律 - 我们在分析中得到的关系 $I = \frac{V}{R}$，我们可以计算出 $I(R1)$ 和 $I(R2)$：
|
||
|
||
$$
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||
\begin{align*}
|
||
I(R1) &= \frac{V}{R} \\\
|
||
I(R1) &= \frac{2.5539}{10K} \\\
|
||
I(R1) &= 0.00025539
|
||
\end{align*}
|
||
$$
|
||
|
||
$$
|
||
\begin{align*}
|
||
I(R2) &= \frac{V}{R} \\\
|
||
I(R2) &= \frac{2.5204}{10K} \\\
|
||
I(R2) &= 0.00025204
|
||
\end{align*}
|
||
$$
|
||
|
||
$R1$ 和 $R2$ 非常接近，可以认为 $R1 \approx R2$。考虑到电阻的容差为 $5\%$（来自四色环电阻代码），我们可以将其视为系统误差，实验测量结果与模拟非常接近。
|
||
|
||
***
|
||
|
||
总之，模拟完全符合串联电路中电流的特点。实验读数接近于理论值，并且如果考虑电阻的容差为 $5\%$（来自四色环电阻代码），则实验读数非常接近于理论值。因此，我们在串联电路中验证了电流流动的概念：
|
||
|
||
- 只有一条路径供电流通过电路。
|
||
- 在电路的任何一点，电流都相同。
|
||
|
||
## 4. 验证并联电路中电压的概念
|
||
|
||
### 电路图示
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||
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||
{{< figure src="Proof%20of%20Concept%20-%20Omega%20Lab%2001%20-%204%20-%20Schematic.avif" caption="概念验证 - Omega 实验室 01 - 4 - 图纸" width=600px >}}
|
||
|
||
### 描述
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||
我将使用欧姆定律和节点特性来找出并联电路中每个电阻上的电压，并将其与理论值进行比较。
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||
|
||
### 分析
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||
|
||
并联电路的特点是：
|
||
|
||
- 存在多条路径供电流通过电路。
|
||
- 每个支路的电压相同，等于电源提供的电压。
|
||
|
||
$$
|
||
V_{total} = V_1 = V_2 = V_3 = \ldots = V_n
|
||
$$
|
||
|
||
我们知道同一节点上的电压相同（它们由导线连接）。因此，我们期望 $V(R1) = V(R2)$。
|
||
|
||
另外，电压是两个点之间的电位差。基于这一点，我们可以计算出 $V(R1)$ 和 $V(R2)$ 的理论值：
|
||
|
||
$$
|
||
\begin{align*}
|
||
V(R1) = V(R2) &= 5 - 0 \\\
|
||
V(R1) = V(R2) &= \boxed{5}
|
||
\end{align*}
|
||
$$
|
||
|
||
***
|
||
|
||
另外，我们还可以检查该电路中的电流。我们知道并联电路的总电流为：
|
||
|
||
$$
|
||
I_{total} = I_1 + I_2 + I_3 + \dots
|
||
$$
|
||
|
||
根据欧姆定律，我们知道：
|
||
|
||
$$
|
||
V = IR
|
||
$$
|
||
|
||
可以稍作变换得到：
|
||
|
||
$$
|
||
I = \frac{V}{R}
|
||
$$
|
||
|
||
并且，并联电阻的总阻值为：
|
||
|
||
$$
|
||
\frac{1}{R_{total}} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} + \frac{1}{R_3} + \ldots + \frac{1}{R_n}
|
||
$$
|
||
|
||
因此，
|
||
|
||
$$
|
||
R_{total} = \frac{1}{\frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} + \frac{1}{R_3} + \ldots + \frac{1}{R_n}}
|
||
$$
|
||
|
||
结合以上公式，我们得到：
|
||
|
||
$$
|
||
I_{total} = \frac{V}{\cfrac{1}{\frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} + \frac{1}{R_3} + \ldots + \frac{1}{R_n}}}
|
||
$$
|
||
|
||
将值代入公式：
|
||
|
||
$$
|
||
\begin{align*}
|
||
I_{total} &= \frac{5}{\cfrac{1}{\frac{1}{10K} + \frac{1}{10K}}} \\\
|
||
I_{total} &= \frac{5}{5K} \\\
|
||
I_{total} &= \boxed{0.001}
|
||
\end{align*}
|
||
$$
|
||
|
||
我们可以检查这个结果以进一步确认。
|
||
|
||
### 模拟
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||
|
||
{{< figure src="Proof%20of%20Concept%20-%20Omega%20Lab%2001%20-%204%20-%20Simulation.avif" caption="概念验证 - Omega 实验室 01 - 4 - 模拟结果" width=600px >}}
|
||
|
||
```text
|
||
--- Operating Point ---
|
||
|
||
V(n001): 5 voltage
|
||
I(R2): 0.0005 device_current
|
||
I(R1): 0.0005 device_current
|
||
I(V1): -0.001 device_current
|
||
```
|
||
|
||
### 测量
|
||
|
||
{{< figure src="Proof%20of%20Concept%20-%20Omega%20Lab%2001%20-%204%20-%20Measurement.avif" caption="概念验证 - Omega 实验室 01 - 4 - 测量结果" width=600px >}}
|
||
|
||
$V(R1)=V(R2)=5.0305V$
|
||
|
||
{{< figure src="Proof%20of%20Concept%20-%20Omega%20Lab%2001%20-%204%20-%20Measurement%20-%201.avif" caption="概念验证 - Omega 实验室 01 - 4 - 测量结果 - 1" width=600px >}}
|
||
|
||
### 讨论
|
||
|
||
首先，让我们比较理论值与实验测量值。
|
||
|
||
我们从 Analog Discovery 3 获取了以下实验读数：
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|
||
```text
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||
V(R1) = 5.0305V
|
||
V(R2) = 5.0305V
|
||
```
|
||
|
||
为了找到 $V(R1)$ 和 $V(R2)$ 的理论值，我们需要做一些计算。
|
||
|
||
我们知道模拟输出为：
|
||
|
||
```text
|
||
V(n001): 5 voltage
|
||
```
|
||
|
||
电压是两个点之间的电位差。基于这一点，我们可以计算出 $V(R1)$ 和 $V(R2)$ 的理论值：
|
||
|
||
$$
|
||
\begin{align*}
|
||
V(R1) = V(R2) &= 5 - 0 \\\
|
||
V(R1) = V(R2) &= \boxed{5}
|
||
\end{align*}
|
||
$$
|
||
|
||
让我们做一个表格来比较结果：
|
||
|
||
|项目|分析值|模拟值|实验值|差值|误差百分比|
|
||
|:-:|:-:|:-:|:-:|:-:|-:|
|
||
|$V(R1)$|$5V$|$5V$|$5.0305V$|$0.0305V$|$0.6\%$|
|
||
|$V(R2)$|$5V$|$5V$|$5.0305V$|$0.0305V$|$0.6\%$|
|
||
|
||
我们可以看到 $V(R1)$ 和 $V(R2)$ 的准确性非常高。有一些误差，可能的原因是存在背景噪声。
|
||
|
||
如果查看“测量”部分，通道 2 是空的，但它仍然有大约 $40mV$ 的读数。这很可能是背景噪声。如果我们从实验测量中去除这种噪声，则误差百分比将小于 $0.2\%$。考虑到电阻的容差为 $5\%$（来自四色环电阻代码），我们可以认为这是系统误差，而实验测量结果与模拟非常接近。
|
||
|
||
***
|
||
|
||
其次，我们可以通过检查总电流来进一步确认。
|
||
|
||
我们知道模拟输出为：
|
||
|
||
```text
|
||
I(R2): 0.0005 device_current
|
||
I(R1): 0.0005 device_current
|
||
```
|
||
|
||
根据分析，我们期望
|
||
|
||
$$
|
||
I_{total} = 0.001
|
||
$$
|
||
|
||
并联电路的总电流为：
|
||
|
||
$$
|
||
I_{total} = I_1 + I_2 + I_3 + \dots
|
||
$$
|
||
|
||
因此，
|
||
|
||
$$
|
||
\begin{align*}
|
||
I_{total} &= I(R2) + I(R1) \\\
|
||
I_{total} &= 0.0005 + 0.0005 \\\
|
||
I_{total} &= 0.001 \\\
|
||
& 0.001 = 0.001 \\; \boxed{\text{True}}
|
||
\end{align*}
|
||
$$
|
||
|
||
我们的分析与模拟结果一致。
|
||
|
||
***
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||
|
||
此外，我们还可以检查实验数据。由于 Analog Discovery 3 不能直接测量电流，我们需要使用欧姆定律来计算电流。
|
||
|
||
我们得到：
|
||
|
||
```text
|
||
V(R1) = 5.0305V
|
||
V(R2) = 5.0305V
|
||
```
|
||
|
||
并且我们知道：
|
||
|
||
```text
|
||
R1 = 10K
|
||
R2 = 10K
|
||
```
|
||
|
||
因此，我们可以计算出 $I(R1)$ 和 $I(R2)$：
|
||
|
||
$$
|
||
\begin{align*}
|
||
I &= \frac{V}{R} \\\
|
||
I(R1) = I(R2) &= \frac{5.0305}{10000} \\\
|
||
I(R1) = I(R2) &= \boxed{0.0005305}
|
||
\end{align*}
|
||
$$
|
||
|
||
$0.0005305 \approx 0.0005$，误差仅为 $0.6\%$（即使去除背景噪声后也小于 $0.2\%$）。我们的理论非常可能为真。考虑到电阻的容差为 $5\%$（来自四色环电阻代码），我们可以认为这是系统误差，而实验测量结果与模拟非常接近。
|
||
|
||
***
|
||
|
||
总之，我们验证了模拟完全符合分析预期。实验数据仅比理论值高出 $0.2\%$ 到 $0.6\%$。因此，我们在并联电路中验证了电压的概念：
|
||
|
||
- 存在多条路径供电流通过电路。
|
||
- 每个支路的电压相同，并等于电源提供的电压。
|
||
|
||
## 5. 验证并联电路中分流器的概念
|
||
|
||
### 电路图示
|
||
|
||
{{< figure src="Proof%20of%20Concept%20-%20Omega%20Lab%2001%20-%204%20-%20Schematic.avif" caption="概念验证 - Omega 实验室 01 - 4 - 图纸" width=600px >}}
|
||
|
||
### 描述
|
||
|
||
我将使用欧姆定律来找出并联电路中每个电阻上的电流，并将其总和与理论值进行比较。
|
||
|
||
### 分析
|
||
|
||
并联电路的特点是：
|
||
|
||
- 存在多条路径供电流通过电路。
|
||
- 每个支路的电压相同，等于电源提供的电压。
|
||
- 总电流进入并联电路后被分配到各个支路中。
|
||
|
||
$$
|
||
V_{total} = V_1 = V_2 = V_3 = \ldots = V_n
|
||
$$
|
||
|
||
我们知道同一节点上的电压相同（它们由导线连接）。因此，我们期望 $V(R1) = V(R2)$。
|
||
|
||
另外，电压是两个点之间的电位差。基于这一点，我们可以计算出 $V(R1)$ 和 $V(R2)$ 的理论值：
|
||
|
||
$$
|
||
\begin{align*}
|
||
V(R1) = V(R2) &= 5 - 0 \\\
|
||
V(R1) = V(R2) &= \boxed{5}
|
||
\end{align*}
|
||
$$
|
||
|
||
根据欧姆定律，我们知道：
|
||
|
||
$$
|
||
V = IR
|
||
$$
|
||
|
||
可以稍作变换得到：
|
||
|
||
$$
|
||
I = \frac{V}{R}
|
||
$$
|
||
|
||
因此，
|
||
|
||
$$
|
||
\begin{align*}
|
||
I(R1) &= \frac{V(R1)}{R1} \\\
|
||
I(R1) &= \frac{5}{10K} \\\
|
||
I(R1) &= \boxed{0.0005}
|
||
\end{align*}
|
||
$$
|
||
|
||
$$
|
||
\begin{align*}
|
||
I(R2) &= \frac{V(R2)}{R2} \\\
|
||
I(R2) &= \frac{5}{10K} \\\
|
||
I(R2) &= \boxed{0.0005}
|
||
\end{align*}
|
||
$$
|
||
|
||
$I(R1)$ 和 $I(R2)$ 的关系可以表示为：
|
||
|
||
$$
|
||
\begin{align*}
|
||
\frac{I(R1)}{I(R2)} &= \cfrac{\cfrac{V(R1)}{R1}}{\cfrac{V(R2)}{R2}} \\\
|
||
\because V(R1) &= V(R2) \\\
|
||
\therefore \frac{I(R1)}{I(R2)} &= \cfrac{\cfrac{\cancel{V(R1)}}{R1} \times \cfrac{1}{\cancel{V(R1)}}}{\cfrac{\cancel{V(R2)}}{R2} \times \cfrac{1}{\cancel{V(R2)}}} \\\
|
||
\frac{I(R1)}{I(R2)} &= \frac{\frac{1}{R1}}{\frac{1}{R2}} \\\
|
||
&\boxed{\frac{I(R1)}{I(R2)} = \frac{R2}{R1}}
|
||
\end{align*}
|
||
$$
|
||
|
||
在我们的情况下，$1 \cdot R1 = 1 \cdot R2$，所以：
|
||
|
||
$$
|
||
\frac{I(R1)}{I(R2)} = \frac{R2}{R1} = \frac{1}{1}
|
||
$$
|
||
|
||
因此，我们可以得到 $I_{total}$ 为：
|
||
|
||
$$
|
||
\begin{align*}
|
||
I_{total} &= \frac{V_{total}}{R_{total}} \\\
|
||
I_{total} &= \frac{5}{\cfrac{1}{\cfrac{1}{10K} + \cfrac{1}{10K}}} \\\
|
||
I_{total} &= \frac{5}{5K} \\\
|
||
I_{total} &= 0.001
|
||
\end{align*}
|
||
$$
|
||
|
||
由于：
|
||
|
||
$$
|
||
\frac{I(R1)}{I(R2)} = \frac{1}{1}
|
||
$$
|
||
|
||
我们可以得到 $I(R1)$ 和 $I(R2)$ 为：
|
||
|
||
$$
|
||
\begin{align*}
|
||
I(R1) = I(R2) &= I_{total} \times \frac {R1}{R1 + R2} \\\
|
||
I(R1) = I(R2) &= 0.001 \times \frac {10K}{10K + 10K} \\\
|
||
I(R1) = I(R2) &= \boxed{0.0005}
|
||
\end{align*}
|
||
$$
|
||
|
||
此时，我们的逻辑是一致的：
|
||
|
||
$$
|
||
\begin{align*}
|
||
& \because R1 = R2 = 10K \\\
|
||
& \because I(R1) = I(R2) = 0.0005 \\\
|
||
& \because V(R1) = V(R2) = 5 \\\
|
||
& \because I_{total} = I(R1) + I(R2) = 0.001 \\\
|
||
& \because \frac{I(R1)}{I(R2)} = \frac{R2}{R1} \\\
|
||
& \therefore I(R1) = I(R2) = I_{total} \times \frac {R1}{R1 + R2}
|
||
\end{align*}
|
||
$$
|
||
|
||
$I(R1) = I(R2) = 0.0005$ 的结果也通过 $I = \frac{V}{R}$ 进行了交叉验证。因此，我们非常有信心：
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$$
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||
\frac{I(R1)}{I(R2)} = \frac{R2}{R1}
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$$
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对于并联电路中任何电阻的电流（例如 $I(R1)$）
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$$
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I(R1) = I_{total} \times \frac {R1}{R1 + R2 + \cdots}
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$$
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### 模拟
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{{< figure src="Proof%20of%20Concept%20-%20Omega%20Lab%2001%20-%204%20-%20Simulation.avif" caption="概念验证 - Omega 实验室 01 - 4 - 模拟结果" width=600px >}}
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||
|
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```text
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||
--- Operating Point ---
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||
|
||
V(n001): 5 voltage
|
||
I(R2): 0.0005 device_current
|
||
I(R1): 0.0005 device_current
|
||
I(V1): -0.001 device_current
|
||
```
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||
### 测量
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{{< figure src="Proof%20of%20Concept%20-%20Omega%20Lab%2001%20-%204%20-%20Measurement.avif" caption="概念验证 - Omega 实验室 01 - 4 - 测量结果" width=600px >}}
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||
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||
$V(R1)=V(R2)=5.0305V$
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{{< figure src="Proof%20of%20Concept%20-%20Omega%20Lab%2001%20-%204%20-%20Measurement%20-%201.avif" caption="概念验证 - Omega 实验室 01 - 4 - 测量结果 - 1" width=600px >}}
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### 讨论
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首先，让我们比较理论值与实验测量值。
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我们从 Analog Discovery 3 获取了以下实验读数：
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```text
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V(R1) = 5.0305V
|
||
V(R2) = 5.0305V
|
||
```
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||
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||
为了找到 $V(R1)$ 和 $V(R2)$ 的理论值，我们需要做一些计算。
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我们知道模拟输出为：
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```text
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||
V(n001): 5 voltage
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```
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电压是两个点之间的电位差。基于这一点，我们可以计算出 $V(R1)$ 和 $V(R2)$ 的理论值：
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$$
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\begin{align*}
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||
V(R1) = V(R2) &= 5 - 0 \\\
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||
V(R1) = V(R2) &= \boxed{5}
|
||
\end{align*}
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||
$$
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||
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||
让我们做一个表格来比较结果：
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|项目|分析值|模拟值|实验值|差值|误差百分比|
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|:-:|:-:|:-:|:-:|:-:|-:|
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|$V(R1)$|$5V$|$5V$|$5.0305V$|$0.0305V$|$0.6\%$|
|
||
|$V(R2)$|$5V$|$5V$|$5.0305V$|$0.0305V$|$0.6\%$|
|
||
|
||
我们可以看到 $V(R1)$ 和 $V(R2)$ 的准确性非常高。有一些误差，可能的原因是存在背景噪声。
|
||
|
||
如果查看“测量”部分，通道 2 是空的，但它仍然有大约 $40mV$ 的读数。这很可能是背景噪声。如果我们从实验测量中去除这种噪声，则误差百分比将小于 $0.2\%$。考虑到电阻的容差为 $5\%$（来自四色环电阻代码），我们可以认为这是系统误差，而实验测量结果与模拟非常接近。
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***
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其次，让我们检查 $I(R1)$ 和 $I(R2)$ 的理论值。
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由于 Analog Discovery 3 不能直接测量电流，我们需要使用欧姆定律来计算电流。
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我们得到：
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```text
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V(R1) = 5.0305V
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||
V(R2) = 5.0305V
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||
```
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||
|
||
并且我们知道：
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```text
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||
R1 = 10K
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||
R2 = 10K
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```
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因此，我们可以计算出 $I(R1)$ 和 $I(R2)$：
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$$
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\begin{align*}
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I &= \frac{V}{R} \\\
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||
I(R1) = I(R2) &= \frac{5.0305}{10000} \\\
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||
I(R1) = I(R2) &= \boxed{0.0005305}
|
||
\end{align*}
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$$
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||
|
||
|项目|分析值|模拟值|实验值|差值|误差百分比|
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||
|:-:|:-:|:-:|:-:|:-:|-:|
|
||
|$I(R1)$|$0.5mA$|$0.5mA$|$0.50305mA$|$0.00305mA$|$0.6\%$|
|
||
|$I(R2)$|$0.5mA$|$0.5mA$|$0.50305mA$|$0.00305mA$|$0.6\%$|
|
||
|
||
我们可以看到 $I(R1)$ 和 $I(R2)$ 的准确性非常高。有一些误差，可能的原因是存在背景噪声。
|
||
|
||
如果查看“测量”部分，通道 2 是空的，但它仍然有大约 $40mV$ 的读数。这很可能是背景噪声。如果我们从实验测量中去除这种噪声，则误差百分比将小于 $0.2\%$。考虑到电阻的容差为 $5\%$（来自四色环电阻代码），我们可以认为这是系统误差，而实验测量结果与模拟非常接近。
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***
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总之，我们验证了模拟完全符合分析预期。实验数据仅比理论值高出 $0.2\%$ 到 $0.6\%$。因此，我们在并联电路中验证了电流分流的概念：
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- 存在多条路径供电流通过电路。
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- 每个支路的电压相同，并等于电源提供的电压。
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- 总电流进入并联电路后被分配到各个支路中。
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## 6. 验证温度传感电路中的分压器概念
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### 电路图示
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{{< figure src="Proof%20of%20Concept%20-%20Omega%20Lab%2001%20-%206%20-%20Schematic.avif" caption="概念验证 - Omega 实验室 01 - 6 - 图纸" width=600px >}}
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### 描述
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我们将使用 NTC 100K 作为热敏电阻，并将其读数与温度计和模拟结果进行比较，以检查其可靠性。
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### 分析
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NTC 热敏电阻使用 Beta 公式来计算特定温度下的电阻。公式如下：
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$$
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\frac{1}{T_1} = \frac{1}{T_0} + \frac{1}{\beta} \ln\left(\frac{R_1}{R_0}\right)
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$$
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可以将 $R_1$ 移到左边得到：
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$$
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R_1 = R_0 e^{\beta(T_1^{-1} - T_0^{-1})}
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$$
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由于我们想找出特定温度下的热敏电阻阻值。
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所使用的热敏电阻是 NTC 100K，这意味着它在参考温度 $25 \degree C$ 下的阻值为 $100k \Omega$
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$$
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T_0 = 298.15K \\
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R_0 = 100k \Omega
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$$
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制造商提供的 $\beta$ 值：
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$$
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\beta = 3950
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$$
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我们知道分压器公式为：
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$$
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\frac{V_1}{V_2} = \frac{R_1}{R_2}
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$$
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将它们组合起来，我们得到：
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$$
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\frac{V_1}{V_2} = \frac{R_0 e^{\beta(T_1^{-1} - T_0^{-1})}}{R_2}
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$$
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### 模拟
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{{< figure src="Proof%20of%20Concept%20-%20Omega%20Lab%2001%20-%206%20-%20Simulation.avif" caption="概念验证 - Omega 实验室 01 - 6 - 模拟结果" width=600px >}}
|
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||
我们得到了一个曲线，显示了温度在 $T = 0 \degree C$ 到 $T = 40 \degree C$ 范围内的关系。
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对于 $T = 29.12 \degree C$，电压应为 $4.465V$
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{{< figure src="Proof%20of%20Concept%20-%20Omega%20Lab%2001%20-%206%20-%20Simulation%20-%201.avif" caption="概念验证 - Omega 实验室 01 - 6 - 模拟结果 - 1" width=600px >}}
|
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|
||
对于 $T = 27.3 \degree C$，电压应为 $4.501V$
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{{< figure src="Proof%20of%20Concept%20-%20Omega%20Lab%2001%20-%206%20-%20Simulation%20-%202.avif" caption="概念验证 - Omega 实验室 01 - 6 - 模拟结果 - 2" width=600px >}}
|
||
|
||
对于 $T = 30.25 \degree C$，电压应为 $4.441V$
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{{< figure src="Proof%20of%20Concept%20-%20Omega%20Lab%2001%20-%206%20-%20Simulation%20-%203.avif" caption="概念验证 - Omega 实验室 01 - 6 - 模拟结果 - 3" width=600px >}}
|
||
|
||
### 测量
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{{< figure src="Proof%20of%20Concept%20-%20Omega%20Lab%2001%20-%206%20-%20Measurement.avif" caption="概念验证 - Omega 实验室 01 - 6 - 测量结果" width=600px >}}
|
||
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||
我们使用了示波器中的数学函数：
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```js
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1/((1/298.15)+(1/3950)*log((((10000*C1)/(5-C1))/100000),2.71828)) - 273.15
|
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```
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|
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来获取温度读数（单位为 $\degree C$）。这是从以下公式得出的：
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$$
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\frac{1}{T_1} = \frac{1}{T_0} + \frac{1}{\beta} \ln\left(\frac{R_1}{R_0}\right)
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$$
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其中 $T_1$ 是我们想要读取的温度。
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||
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然后，我们在 $24 \degree C$ 下校准了热敏电阻。
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{{< figure src="Proof%20of%20Concept%20-%20Omega%20Lab%2001%20-%206%20-%20Measurement%20-%202.avif" caption="概念验证 - Omega 实验室 01 - 6 - 测量结果 - 2" width=600px >}}
|
||
|
||
之后，我们进行了三次测量：
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$V = 4.465V, T = 29.12 \degree C$
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{{< figure src="Proof%20of%20Concept%20-%20Omega%20Lab%2001%20-%206%20-%20Measurement%20-%201.avif" caption="概念验证 - Omega 实验室 01 - 6 - 测量结果 - 1" width=600px >}}
|
||
|
||
$V = 4.502V, T = 27.3 \degree C$
|
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{{< figure src="Proof%20of%20Concept%20-%20Omega%20Lab%2001%20-%206%20-%20Measurement%20-%203.avif" caption="概念验证 - Omega 实验室 01 - 6 - 测量结果 - 3" width=600px >}}
|
||
|
||
$V = 4.441V, T = 30.25 \degree C$
|
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|
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{{< figure src="Proof%20of%20Concept%20-%20Omega%20Lab%2001%20-%206%20-%20Measurement%20-%204.avif" caption="概念验证 - Omega 实验室 01 - 6 - 测量结果 - 4" width=600px >}}
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### 讨论
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|温度|分析值|模拟值|实验值|差值|误差百分比|
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|:-:|:-:|:-:|:-:|:-|-:|
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|$29.12 \degree C$|$4.465V$|$4.465V$|$4.465V$|$0V$|$0\%$|
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|$27.3 \degree C$|$4.501V$|$4.501V$|$4.502V$|$1mV$|$0.1\%$|
|
||
|$30.25 \degree C$|$4.441V$|$4.441V$|$4.441V$|$0V$|$0\%$|
|
||
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如我们所见，理论值与测量值之间的差异非常小。这可能是因为温度读数是通过电压计算得出的。
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即使查看温度计的读数，两者都显示约为 $24 \degree C$。在最坏的情况下，误差为 $5\%$。因此，总体而言，我们的读数是可靠的。
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***
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惠斯通电桥比普通分压器更灵敏，因为它的输出电压受电阻比例变化的影响较小。当惠斯通电桥平衡时（即 $R1/R2 = R3/R4$），中心的电流表中的电流为零。此时，计算出的阻值不再受到导线、电阻和伏特计固有电阻的影响，从而使得测量结果更准确。
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优点：
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- 惠斯通电桥比分压器更准确
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- 电压源不需要校准即可测量阻值
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缺点：
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- 分压器更容易且成本更低制作
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- 功耗较低
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