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| ECSE 1010 概念验证 - Omega Lab01 | 2024-11-19T06:05:36-05:00 | 2024-11-19T06:05:36-05:00 | ecse-1010-poc-lab01 | false |
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本文展示了ECSE 1010 Omega Lab01的综合概念验证，重点探讨了欧姆定律、基尔霍夫电流定律（KCL）、基尔霍夫电压定律（KVL）、分压器原理及电路中的电流流动等电气工程基础。内容涵盖详细的电路图设计、分析过程、仿真模拟以及实验测量数据，以验证理论知识的正确性。 |
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0. 参考文档
1. 验证欧姆定律、KCL 和 KVL 在电路中的应用
电路图示
{{< image src="Proof%20of%20Concept%20-%20Omega%20Lab%2001%20-%201%20-%20Schematic.avif" caption="概念验证 - Omega 实验室 01 - 1 - 图纸" width=600px >}}
描述
- 根据欧姆定律，电压等于电流乘以电阻。因此，我们将用伏特表测量实际值并与理论值进行比较。
- 根据 KCL（基尔霍夫电流定律），流入节点的总电流等于流出该节点的总电流。所以我们要测量所有电流并相加来验证是否符合理论。
- 根据 KVL（基尔霍夫电压定律），在回路中的各个节点电压总和为零。因此，我们将测量整个回路的所有电压，并检查它们的总和。
分析
我们知道，欧姆定律、KCL 和 KVL 可以表示成以下公式：
V = IR \\\
\sum I_{in} = \sum I_{out} \\\
\sum V_n = 0
基于 $V = IR$，总电流应为
\begin{align*}
V &= IR \\\
I &= \frac{V}{R} \\\
I_{total} &= \frac{5}{10K + \cfrac{1}{\frac{1}{1K} + \frac{1}{1K}} + 10K} \\\
I_{total} &= \frac{5}{10000 + 500 + 10000} \\\
I_{total} &= 0.000243902439 \\\
\end{align*}
并且 I(R2) = I(R3) 应为
\begin{align*}
I(R2) = I(R3) &= I_{total} \times \frac{R2}{R2 + R3} \\\
I(R2) = I(R3) &= 0.000243902439 \times \frac{1000}{1000 + 1000} \\\
I(R2) = I(R3) &= 0.0001219512195
\end{align*}
为了找到 $V(R1)$、V(R2)=V(R3) 和 $V(R4)$，我们可以使用以下公式：
\begin{align*}
V(R1) = V(R4) &= V_{total} \times \frac{R1}{R1 + R2 \Vert R3 + R4} \\\
V(R1) = V(R4) &= 5 \times \frac{10000}{10000 + 500 + 10000} \\\
V(R1) = V(R4) &= 2.4390244
\end{align*}
\begin{align*}
V(R2) = V(R3) &= V_{total} - (V(R1) + V(R4)) \\\
V(R2) = V(R3) &= 5 - 2.4390244 - 2.4390244 \\\
V(R2) = V(R3) &= 0.1219512
\end{align*}
根据 KCL，我们应看到 $I(R1) = I(R2) + I(R3)$，因为 I(R1) 是流入节点 n002 的电流而 I(R2) + I(R3) 是流出该节点的电流。
根据 KVL，在同一个回路中的电压总和为零。因此，我们应期望 $V(n001) - V(n002) - V(n003) = 0$。我们将检查实验结果是否符合这些预期。
模拟
{{< figure src="Proof%20of%20Concept%20-%20Omega%20Lab%2001%20-%201%20-%20Simulation.avif" caption="概念验证 - Omega 实验室 01 - 1 - 模拟结果" width=600px >}}
--- Operating Point ---
V(n001): 5 voltage
V(n002): 2.56098 voltage
V(n003): 2.43902 voltage
I(R1): -0.000243902 device_current
I(R2): 0.000121951 device_current
I(R3): 0.000121951 device_current
I(R4): 0.000243902 device_current
I(V1): -0.000243902 device_current
测量
{{< figure src="Proof%20of%20Concept%20-%20Omega%20Lab%2001%20-%201%20-%20Measurement.avif" caption="概念验证 - Omega 实验室 01 - 1 - 测量结果" width=600px >}}
V(R1) = 2.4963V
{{< figure src="Proof%20of%20Concept%20-%20Omega%20Lab%2001%20-%201%20-%20Measurement%20-%201.avif" caption="概念验证 - Omega 实验室 01 - 1 - 测量结果 - 1" width=600px >}}
V(R2) = V(R3) = 166.5mV
{{< figure src="Proof%20of%20Concept%20-%20Omega%20Lab%2001%20-%201%20-%20Measurement%20-%202.avif" caption="概念验证 - Omega 实验室 01 - 1 - 测量结果 - 2" width=600px >}}
V(R4) = 2.4616V
{{< figure src="Proof%20of%20Concept%20-%20Omega%20Lab%2001%20-%201%20-%20Measurement%20-%203.avif" caption="概念验证 - Omega 实验室 01 - 1 - 测量结果 - 3" width=600px >}}
讨论
首先，让我们比较理论值与实验测量值。
我们从 Analog Discovery 3 获取了以下实验读数：
V(R1) = 2.4963V
V(R2) = V(R3) = 166.5mV
V(R4) = 2.4616V
为了找到 $V(R1)$、V(R2)=V(R3) 和 V(R4) 的理论值，我们需要做一些计算。
我们知道模拟输出为：
V(n001): 5 voltage
V(n002): 2.56098 voltage
V(n003): 2.43902 voltage
电压是指两个点之间的电位差。基于这一点，我们可以计算 $V(R1)$、V(R2)=V(R3) 和 V(R4) 的理论值。
\begin{align*}
V(R1) &= V(n001) - V(n002) \\\
V(R1) &= 5 - 2.56098 \\\
V(R1) &= \boxed{2.43902}
\end{align*}
\begin{align*}
V(R2) = V(R3) &= V(n002) - V(n003) \\\
V(R2) = V(R3) &= 2.56098 - 2.43902 \\\
V(R2) = V(R3) &= \boxed{0.12196}
\end{align*}
\begin{align*}
V(R4) &= V(n003) - V(\text{GND}) \\\
V(R4) &= 2.43902 - 0 \\\
V(R4) &= \boxed{2.43902}
\end{align*}
让我们做一个表格来比较结果：
| 项目 | 分析值 | 模拟值 | 实验值 | 差值 | 误差百分比 |
|---|---|---|---|---|---|
V(R1) |
2.4390V |
2.4390V |
2.4963V |
57.28mV |
2.3\% |
V(R2) |
0.1219V |
0.1219V |
0.1665V |
44.54mV |
26.8\% |
V(R3) |
0.1219V |
0.1219V |
0.1665V |
44.54mV |
26.8\% |
V(R4) |
2.4390V |
2.4390V |
2.4616V |
22.58mV |
0.9\% |
我们可以看到 V(R1) 和 V(R4) 的准确性非常高。但 V(R2) 和 V(R3) 误差较大，可能的原因是存在背景噪声。
如果查看“测量”部分，通道 2 是空的，但它仍然有大约 50mV 的读数。这很可能是背景噪声。如果我们从实验测量中去除这种噪声，则误差百分比将小于 $1%$。考虑到电阻的容差为 $5%$（来自四色环电阻代码），我们可以认为这是系统误差，而实验测量结果与模拟非常接近。
现在，让我们检查 KCL。
我们得到了以下模拟数据：
I(R1): -0.000243902 device_current
I(R2): 0.000121951 device_current
I(R3): 0.000121951 device_current
I(R4): 0.000243902 device_current
I(V1): -0.000243902 device_current
根据分析结果，我们应看到 $I(R1) = I(R2) + I(R3)$。验证如下：
\begin{align*}
I(R1) + I(R2) + I(R3) &= -0.000243902 + 0.000121951 + 0.000121951 \\\
&= \boxed{0}
\end{align*}
KCL 很可能为真。
然后，让我们检查 KVL。
我们可以使用前面部分的结果：
\begin{align*}
V(R1) &= 2.43902 \\\
V(R2) = V(R3) &= 0.12196 \\\
V(R4) &= 2.43902
\end{align*}
根据分析结果，我们应期望 $V(n001) - V(n002) - V(n003) = 0$。验证如下：
\begin{align*}
V(n001) - V(n002) - V(n003) &= 2.43902 - 0.12196 - 0.12196 \\\
&= 0 \\\
\boxed{\text{True}}
\end{align*}
KVL 很可能为真。
最后，让我们检查欧姆定律。使用期望 V = IR 和实验数据：
R1 = 10K
R2 = R3 = 1K
R4 = 10K
V(R1) = 2.4963V
V(R2) = V(R3) = 166.5mV
V(R4) = 2.4616V
根据欧姆定律计算 $I$。
\begin{align*}
V &= IR \\\
I &= \frac{V}{R} \\\
I(R1) &= \frac{2.4963}{10000} = \boxed{0.00024963}
\end{align*}
\begin{align*}
V &= IR \\\
I &= \frac{V}{R} \\\
I(R2) = I(R3) &= \frac{0.1665}{1000} = \boxed{0.0001665}
\end{align*}
\begin{align*}
V &= IR \\\
I &= \frac{V}{R} \\\
I(R4) &= \frac{2.4616}{10000} = \boxed{0.00024616}
\end{align*}
然后，我们可以将这些电流结果与模拟数据进行比较。
| 项目 | 分析值 | 模拟值 | 实验值 | 差值 | 误差百分比 |
|---|---|---|---|---|---|
I(R1) |
0.2439mA |
0.2439mA |
0.2496mA |
0.005728mA |
2.3\% |
I(R2) |
0.1665mA |
0.1665mA |
0.1219mA |
0.044549mA |
26.8\% |
I(R3) |
0.1665mA |
0.1665mA |
0.1219mA |
0.044549mA |
26.8\% |
I(R4) |
0.2439mA |
0.2439mA |
0.2461mA |
0.002258mA |
0.9\% |
我们可以看到 I(R1) 和 I(R4) 的准确性非常高。但 I(R2) 和 I(R3) 误差较大，可能的原因是存在背景噪声。
如果查看“测量”部分，通道 2 是空的，但它仍然有大约 50mV 的读数。这很可能是背景噪声。如果我们从实验测量中去除这种噪声，则误差百分比将小于 $1%$。考虑到电阻的容差为 $5%$（来自四色环电阻代码），我们可以认为这是系统误差，而实验测量结果与模拟非常接近。
此外，我们还可以检查整个电路中的总电流。根据分析中的期望 - $I_{total} = 0.000243902439$，这与模拟结果一致 - $0.000243902A$。
总之，模拟完全符合 KCL 和 KVL 的要求。实验数据接近于模拟值，并且如果去除背景噪声并考虑电阻的 5\% 容差，则实验测量结果非常接近于模拟值。然后我们使用实验数据和欧姆定律来比较模拟结果，结果显示也非常接近。因此，我们在电路中验证了欧姆定律、KCL 和 KVL。
2. 验证串联电路中分压器的概念
电路图示
{{< figure src="Proof%20of%20Concept%20-%20Omega%20Lab%2001%20-%202%20-%20Schematic.avif" caption="概念验证 - Omega 实验室 01 - 2 - 图纸" width=600px >}}
描述
我将构建一个串联电路，其中包含两个电阻，并测量这些电阻上的电压以与理论值进行比较。
分析
分压器公式为：
\frac{V_1}{V_2} = \frac{R_1}{R_2}
如果电源电压为 5V 且 $R1=R2=10K$，将这些值代入公式得到：
\frac{V_1}{V_2} = \frac{10K}{10K} = \frac{1}{1}
我们知道 V_1 + V_2 = 5 并且 $1 \cdot V_1 = 1 \cdot V_2$。因此，我们期望 $V_1 = V_2 = 2.5$。
模拟
{{< figure src="Proof%20of%20Concept%20-%20Omega%20Lab%2001%20-%202%20-%20Simulation.avif" caption="概念验证 - Omega 实验室 01 - 2 - 模拟结果" width=600px >}}
--- Operating Point ---
V(n001): 5 voltage
V(n002): 2.5 voltage
I(R1): -0.00025 device_current
I(R2): -0.00025 device_current
I(V1): -0.00025 device_current
测量
{{< figure src="Proof%20of%20Concept%20-%20Omega%20Lab%2001%20-%202%20-%20Measurement.avif" caption="概念验证 - Omega 实验室 01 - 2 - 测量结果" width=600px >}}
V(R1) = 2.5539V
{{< figure src="Proof%20of%20Concept%20-%20Omega%20Lab%2001%20-%202%20-%20Measurement%20-%201.avif" caption="概念验证 - Omega 实验室 01 - 2 - 测量结果 - 1" width=600px >}}
V(R2) = 2.5204V
{{< figure src="Proof%20of%20Concept%20-%20Omega%20Lab%2001%20-%202%20-%20Measurement%20-%202.avif" caption="概念验证 - Omega 实验室 01 - 2 - 测量结果 - 2" width=600px >}}
讨论
首先，让我们比较理论值与实验测量值。
我们从 Analog Discovery 3 获取了以下实验读数：
V(R1) = 2.5539V
V(R2) = 2.5204V
电压是指两个点之间的电位差。基于这一点，我们可以计算 V(R1) 和 V(R2) 的理论值。
我们知道模拟输出为：
V(n001): 5 voltage
V(n002): 2.5 voltage
\begin{align*}
V(R1) &= V(n001) - V(n002) \\\
V(R1) &= 5 - 2.5 \\\
V(R1) &= \boxed{2.5}
\end{align*}
\begin{align*}
V(R2) &= V(n002) - \text{GND} \\\
V(R2) &= 2.5 - 0 \\\
V(R2) &= \boxed{2.5}
\end{align*}
让我们做一个表格来比较结果：
| 项目 | 分析值 | 模拟值 | 实验值 | 差值 | 误差百分比 |
|---|---|---|---|---|---|
V(R1) |
2.5V |
2.5V |
2.5539V |
0.0539V |
2.1\% |
V(R2) |
2.5V |
2.5V |
2.5204V |
0.0204V |
0.8\% |
我们可以看到 V(R1) 和 V(R2) 的准确性非常高。有一些误差，可能的原因是存在背景噪声。
如果查看“测量”部分，通道 2 是空的，但它仍然有大约 40mV 的读数。这很可能是背景噪声。如果我们从实验测量中去除这种噪声，则误差百分比将小于 $1%$。考虑到电阻的容差为 $5%$（来自四色环电阻代码），我们可以认为这是系统误差，而实验测量结果与模拟非常接近。
总之，模拟完全符合分压器理论公式的要求。实验读数接近于理论值，并且如果去除背景噪声，则实验读数非常接近于理论值。因此，我们在串联电路中验证了分压器的概念。
3. 验证电流在串联电路中流动的概念
电路图示
{{< figure src="Proof%20of%20Concept%20-%20Omega%20Lab%2001%20-%202%20-%20Schematic.avif" caption="概念验证 - Omega 实验室 01 - 2 - 图纸" width=600px >}}
描述
我将使用欧姆定律来找出串联电路中每个电阻中的电流，并将其与理论值进行比较。
分析
串联电路的特点是：
- 只有一条路径供电流通过电路。
- 在电路的任何一点，电流都相同。
由于 Analog Discovery 3 不能直接测量电流而是测量电压。我们将使用欧姆定律来找出流过电阻的电流。
我们知道从欧姆定律的关系为：
V = IR
可以稍作变换得到：
I = \frac{V}{R}
另外，我们还知道 $R_1 = R_2 = 10K$，并且可以通过分压器公式找到电阻上的电压。即：
\begin{align*}
\frac{V_1}{V_2} &= \frac{R_1}{R_2} \\\
\frac{V_1}{V_2} &= \frac{10K}{10K} = 1
\end{align*}
我们知道 V_1 + V_2 = 5 并且 $V_1 = V_2$。因此，我们期望 $V_1 = V_2 = 2.5$。
使用这些值，我们可以计算出 I(R1) 和 $I(R2)$：
\begin{align*}
I(R1) = I(R2) &= \frac{V}{R} \\\
I(R1) = I(R2) &= \frac{2.5}{10K} \\\
I(R1) = I(R2) &= \boxed{0.00025}
\end{align*}
我们期望 I(R1) 和 I(R2) 为 $0.00025A$。
模拟
{{< figure src="Proof%20of%20Concept%20-%20Omega%20Lab%2001%20-%202%20-%20Simulation.avif" caption="概念验证 - Omega 实验室 01 - 2 - 模拟结果" width=600px >}}
--- Operating Point ---
V(n001): 5 voltage
V(n002): 2.5 voltage
I(R1): -0.00025 device_current
I(R2): -0.00025 device_current
I(V1): -0.00025 device_current
测量
{{< figure src="Proof%20of%20Concept%20-%20Omega%20Lab%2001%20-%202%20-%20Measurement.avif" caption="概念验证 - Omega 实验室 01 - 2 - 测量结果" width=600px >}}
V(R1) = 2.5539V
{{< figure src="Proof%20of%20Concept%20-%20Omega%20Lab%2001%20-%202%20-%20Measurement%20-%201.avif" caption="概念验证 - Omega 实验室 01 - 2 - 测量结果 - 1" width=600px >}}
V(R2) = 2.5204V
{{< figure src="Proof%20of%20Concept%20-%20Omega%20Lab%2001%20-%202%20-%20Measurement%20-%202.avif" caption="概念验证 - Omega 实验室 01 - 2 - 测量结果 - 2" width=600px >}}
讨论
从模拟结果中，
I(R1): -0.00025 device_current
I(R2): -0.00025 device_current
这证明了 $I(R1) = I(R2)$，即：
- 只有一条路径供电流通过电路。
- 在电路的任何一点，电流都相同。
从测量结果中，我们得到了电阻 R1 和 R2 上的电压
V(R1) = 2.5539V
V(R2) = 2.5204V
基于欧姆定律 - 我们在分析中得到的关系 $I = \frac{V}{R}$，我们可以计算出 I(R1) 和 $I(R2)$：
\begin{align*}
I(R1) &= \frac{V}{R} \\\
I(R1) &= \frac{2.5539}{10K} \\\
I(R1) &= 0.00025539
\end{align*}
\begin{align*}
I(R2) &= \frac{V}{R} \\\
I(R2) &= \frac{2.5204}{10K} \\\
I(R2) &= 0.00025204
\end{align*}
R1 和 R2 非常接近，可以认为 $R1 \approx R2$。考虑到电阻的容差为 $5%$（来自四色环电阻代码），我们可以将其视为系统误差，实验测量结果与模拟非常接近。
总之，模拟完全符合串联电路中电流的特点。实验读数接近于理论值，并且如果考虑电阻的容差为 $5%$（来自四色环电阻代码），则实验读数非常接近于理论值。因此，我们在串联电路中验证了电流流动的概念：
- 只有一条路径供电流通过电路。
- 在电路的任何一点，电流都相同。
4. 验证并联电路中电压的概念
电路图示
{{< figure src="Proof%20of%20Concept%20-%20Omega%20Lab%2001%20-%204%20-%20Schematic.avif" caption="概念验证 - Omega 实验室 01 - 4 - 图纸" width=600px >}}
描述
我将使用欧姆定律和节点特性来找出并联电路中每个电阻上的电压，并将其与理论值进行比较。
分析
并联电路的特点是：
- 存在多条路径供电流通过电路。
- 每个支路的电压相同，等于电源提供的电压。
V_{total} = V_1 = V_2 = V_3 = \ldots = V_n
我们知道同一节点上的电压相同（它们由导线连接）。因此，我们期望 $V(R1) = V(R2)$。
另外，电压是两个点之间的电位差。基于这一点，我们可以计算出 V(R1) 和 V(R2) 的理论值：
\begin{align*}
V(R1) = V(R2) &= 5 - 0 \\\
V(R1) = V(R2) &= \boxed{5}
\end{align*}
另外，我们还可以检查该电路中的电流。我们知道并联电路的总电流为：
I_{total} = I_1 + I_2 + I_3 + \dots
根据欧姆定律，我们知道：
V = IR
可以稍作变换得到：
I = \frac{V}{R}
并且，并联电阻的总阻值为：
\frac{1}{R_{total}} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} + \frac{1}{R_3} + \ldots + \frac{1}{R_n}
因此，
R_{total} = \frac{1}{\frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} + \frac{1}{R_3} + \ldots + \frac{1}{R_n}}
结合以上公式，我们得到：
I_{total} = \frac{V}{\cfrac{1}{\frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} + \frac{1}{R_3} + \ldots + \frac{1}{R_n}}}
将值代入公式：
\begin{align*}
I_{total} &= \frac{5}{\cfrac{1}{\frac{1}{10K} + \frac{1}{10K}}} \\\
I_{total} &= \frac{5}{5K} \\\
I_{total} &= \boxed{0.001}
\end{align*}
我们可以检查这个结果以进一步确认。
模拟
{{< figure src="Proof%20of%20Concept%20-%20Omega%20Lab%2001%20-%204%20-%20Simulation.avif" caption="概念验证 - Omega 实验室 01 - 4 - 模拟结果" width=600px >}}
--- Operating Point ---
V(n001): 5 voltage
I(R2): 0.0005 device_current
I(R1): 0.0005 device_current
I(V1): -0.001 device_current
测量
{{< figure src="Proof%20of%20Concept%20-%20Omega%20Lab%2001%20-%204%20-%20Measurement.avif" caption="概念验证 - Omega 实验室 01 - 4 - 测量结果" width=600px >}}
V(R1)=V(R2)=5.0305V
{{< figure src="Proof%20of%20Concept%20-%20Omega%20Lab%2001%20-%204%20-%20Measurement%20-%201.avif" caption="概念验证 - Omega 实验室 01 - 4 - 测量结果 - 1" width=600px >}}
讨论
首先，让我们比较理论值与实验测量值。
我们从 Analog Discovery 3 获取了以下实验读数：
V(R1) = 5.0305V
V(R2) = 5.0305V
为了找到 V(R1) 和 V(R2) 的理论值，我们需要做一些计算。
我们知道模拟输出为：
V(n001): 5 voltage
电压是两个点之间的电位差。基于这一点，我们可以计算出 V(R1) 和 V(R2) 的理论值：
\begin{align*}
V(R1) = V(R2) &= 5 - 0 \\\
V(R1) = V(R2) &= \boxed{5}
\end{align*}
让我们做一个表格来比较结果：
| 项目 | 分析值 | 模拟值 | 实验值 | 差值 | 误差百分比 |
|---|---|---|---|---|---|
V(R1) |
5V |
5V |
5.0305V |
0.0305V |
0.6\% |
V(R2) |
5V |
5V |
5.0305V |
0.0305V |
0.6\% |
我们可以看到 V(R1) 和 V(R2) 的准确性非常高。有一些误差，可能的原因是存在背景噪声。
如果查看“测量”部分，通道 2 是空的，但它仍然有大约 40mV 的读数。这很可能是背景噪声。如果我们从实验测量中去除这种噪声，则误差百分比将小于 $0.2%$。考虑到电阻的容差为 $5%$（来自四色环电阻代码），我们可以认为这是系统误差，而实验测量结果与模拟非常接近。
其次，我们可以通过检查总电流来进一步确认。
我们知道模拟输出为：
I(R2): 0.0005 device_current
I(R1): 0.0005 device_current
根据分析，我们期望
I_{total} = 0.001
并联电路的总电流为：
I_{total} = I_1 + I_2 + I_3 + \dots
因此，
\begin{align*}
I_{total} &= I(R2) + I(R1) \\\
I_{total} &= 0.0005 + 0.0005 \\\
I_{total} &= 0.001 \\\
& 0.001 = 0.001 \; \boxed{\text{True}}
\end{align*}
我们的分析与模拟结果一致。
此外，我们还可以检查实验数据。由于 Analog Discovery 3 不能直接测量电流，我们需要使用欧姆定律来计算电流。
我们得到：
V(R1) = 5.0305V
V(R2) = 5.0305V
并且我们知道：
R1 = 10K
R2 = 10K
因此，我们可以计算出 I(R1) 和 $I(R2)$：
\begin{align*}
I &= \frac{V}{R} \\\
I(R1) = I(R2) &= \frac{5.0305}{10000} \\\
I(R1) = I(R2) &= \boxed{0.0005305}
\end{align*}
$0.0005305 \approx 0.0005$，误差仅为 $0.6%$（即使去除背景噪声后也小于 $0.2%$）。我们的理论非常可能为真。考虑到电阻的容差为 $5%$（来自四色环电阻代码），我们可以认为这是系统误差，而实验测量结果与模拟非常接近。
总之，我们验证了模拟完全符合分析预期。实验数据仅比理论值高出 0.2\% 到 $0.6%$。因此，我们在并联电路中验证了电压的概念：
- 存在多条路径供电流通过电路。
- 每个支路的电压相同，并等于电源提供的电压。
5. 验证并联电路中分流器的概念
电路图示
{{< figure src="Proof%20of%20Concept%20-%20Omega%20Lab%2001%20-%204%20-%20Schematic.avif" caption="概念验证 - Omega 实验室 01 - 4 - 图纸" width=600px >}}
描述
我将使用欧姆定律来找出并联电路中每个电阻上的电流，并将其总和与理论值进行比较。
分析
并联电路的特点是：
- 存在多条路径供电流通过电路。
- 每个支路的电压相同，等于电源提供的电压。
- 总电流进入并联电路后被分配到各个支路中。
V_{total} = V_1 = V_2 = V_3 = \ldots = V_n
我们知道同一节点上的电压相同（它们由导线连接）。因此，我们期望 $V(R1) = V(R2)$。
另外，电压是两个点之间的电位差。基于这一点，我们可以计算出 V(R1) 和 V(R2) 的理论值：
\begin{align*}
V(R1) = V(R2) &= 5 - 0 \\\
V(R1) = V(R2) &= \boxed{5}
\end{align*}
根据欧姆定律，我们知道：
V = IR
可以稍作变换得到：
I = \frac{V}{R}
因此，
\begin{align*}
I(R1) &= \frac{V(R1)}{R1} \\\
I(R1) &= \frac{5}{10K} \\\
I(R1) &= \boxed{0.0005}
\end{align*}
\begin{align*}
I(R2) &= \frac{V(R2)}{R2} \\\
I(R2) &= \frac{5}{10K} \\\
I(R2) &= \boxed{0.0005}
\end{align*}
I(R1) 和 I(R2) 的关系可以表示为：
\begin{align*}
\frac{I(R1)}{I(R2)} &= \cfrac{\cfrac{V(R1)}{R1}}{\cfrac{V(R2)}{R2}} \\\
\because V(R1) &= V(R2) \\\
\therefore \frac{I(R1)}{I(R2)} &= \cfrac{\cfrac{\cancel{V(R1)}}{R1} \times \cfrac{1}{\cancel{V(R1)}}}{\cfrac{\cancel{V(R2)}}{R2} \times \cfrac{1}{\cancel{V(R2)}}} \\\
\frac{I(R1)}{I(R2)} &= \frac{\frac{1}{R1}}{\frac{1}{R2}} \\\
&\boxed{\frac{I(R1)}{I(R2)} = \frac{R2}{R1}}
\end{align*}
在我们的情况下，$1 \cdot R1 = 1 \cdot R2$，所以：
\frac{I(R1)}{I(R2)} = \frac{R2}{R1} = \frac{1}{1}
因此，我们可以得到 I_{total} 为：
\begin{align*}
I_{total} &= \frac{V_{total}}{R_{total}} \\\
I_{total} &= \frac{5}{\cfrac{1}{\cfrac{1}{10K} + \cfrac{1}{10K}}} \\\
I_{total} &= \frac{5}{5K} \\\
I_{total} &= 0.001
\end{align*}
由于：
\frac{I(R1)}{I(R2)} = \frac{1}{1}
我们可以得到 I(R1) 和 I(R2) 为：
\begin{align*}
I(R1) = I(R2) &= I_{total} \times \frac {R1}{R1 + R2} \\\
I(R1) = I(R2) &= 0.001 \times \frac {10K}{10K + 10K} \\\
I(R1) = I(R2) &= \boxed{0.0005}
\end{align*}
此时，我们的逻辑是一致的：
\begin{align*}
& \because R1 = R2 = 10K \\\
& \because I(R1) = I(R2) = 0.0005 \\\
& \because V(R1) = V(R2) = 5 \\\
& \because I_{total} = I(R1) + I(R2) = 0.001 \\\
& \because \frac{I(R1)}{I(R2)} = \frac{R2}{R1} \\\
& \therefore I(R1) = I(R2) = I_{total} \times \frac {R1}{R1 + R2}
\end{align*}
I(R1) = I(R2) = 0.0005 的结果也通过 I = \frac{V}{R} 进行了交叉验证。因此，我们非常有信心：
\frac{I(R1)}{I(R2)} = \frac{R2}{R1}
对于并联电路中任何电阻的电流（例如 $I(R1)$）
I(R1) = I_{total} \times \frac {R1}{R1 + R2 + \cdots}
模拟
{{< figure src="Proof%20of%20Concept%20-%20Omega%20Lab%2001%20-%204%20-%20Simulation.avif" caption="概念验证 - Omega 实验室 01 - 4 - 模拟结果" width=600px >}}
--- Operating Point ---
V(n001): 5 voltage
I(R2): 0.0005 device_current
I(R1): 0.0005 device_current
I(V1): -0.001 device_current
测量
{{< figure src="Proof%20of%20Concept%20-%20Omega%20Lab%2001%20-%204%20-%20Measurement.avif" caption="概念验证 - Omega 实验室 01 - 4 - 测量结果" width=600px >}}
V(R1)=V(R2)=5.0305V
{{< figure src="Proof%20of%20Concept%20-%20Omega%20Lab%2001%20-%204%20-%20Measurement%20-%201.avif" caption="概念验证 - Omega 实验室 01 - 4 - 测量结果 - 1" width=600px >}}
讨论
首先，让我们比较理论值与实验测量值。
我们从 Analog Discovery 3 获取了以下实验读数：
V(R1) = 5.0305V
V(R2) = 5.0305V
为了找到 V(R1) 和 V(R2) 的理论值，我们需要做一些计算。
我们知道模拟输出为：
V(n001): 5 voltage
电压是两个点之间的电位差。基于这一点，我们可以计算出 V(R1) 和 V(R2) 的理论值：
\begin{align*}
V(R1) = V(R2) &= 5 - 0 \\\
V(R1) = V(R2) &= \boxed{5}
\end{align*}
让我们做一个表格来比较结果：
| 项目 | 分析值 | 模拟值 | 实验值 | 差值 | 误差百分比 |
|---|---|---|---|---|---|
V(R1) |
5V |
5V |
5.0305V |
0.0305V |
0.6\% |
V(R2) |
5V |
5V |
5.0305V |
0.0305V |
0.6\% |
我们可以看到 V(R1) 和 V(R2) 的准确性非常高。有一些误差，可能的原因是存在背景噪声。
如果查看“测量”部分，通道 2 是空的，但它仍然有大约 40mV 的读数。这很可能是背景噪声。如果我们从实验测量中去除这种噪声，则误差百分比将小于 $0.2%$。考虑到电阻的容差为 $5%$（来自四色环电阻代码），我们可以认为这是系统误差，而实验测量结果与模拟非常接近。
其次，让我们检查 I(R1) 和 I(R2) 的理论值。
由于 Analog Discovery 3 不能直接测量电流，我们需要使用欧姆定律来计算电流。
我们得到：
V(R1) = 5.0305V
V(R2) = 5.0305V
并且我们知道：
R1 = 10K
R2 = 10K
因此，我们可以计算出 I(R1) 和 $I(R2)$：
\begin{align*}
I &= \frac{V}{R} \\\
I(R1) = I(R2) &= \frac{5.0305}{10000} \\\
I(R1) = I(R2) &= \boxed{0.0005305}
\end{align*}
| 项目 | 分析值 | 模拟值 | 实验值 | 差值 | 误差百分比 |
|---|---|---|---|---|---|
I(R1) |
0.5mA |
0.5mA |
0.50305mA |
0.00305mA |
0.6\% |
I(R2) |
0.5mA |
0.5mA |
0.50305mA |
0.00305mA |
0.6\% |
我们可以看到 I(R1) 和 I(R2) 的准确性非常高。有一些误差，可能的原因是存在背景噪声。
如果查看“测量”部分，通道 2 是空的，但它仍然有大约 40mV 的读数。这很可能是背景噪声。如果我们从实验测量中去除这种噪声，则误差百分比将小于 $0.2%$。考虑到电阻的容差为 $5%$（来自四色环电阻代码），我们可以认为这是系统误差，而实验测量结果与模拟非常接近。
总之，我们验证了模拟完全符合分析预期。实验数据仅比理论值高出 0.2\% 到 $0.6%$。因此，我们在并联电路中验证了电流分流的概念：
- 存在多条路径供电流通过电路。
- 每个支路的电压相同，并等于电源提供的电压。
- 总电流进入并联电路后被分配到各个支路中。
6. 验证温度传感电路中的分压器概念
电路图示
{{< figure src="Proof%20of%20Concept%20-%20Omega%20Lab%2001%20-%206%20-%20Schematic.avif" caption="概念验证 - Omega 实验室 01 - 6 - 图纸" width=600px >}}
描述
我们将使用 NTC 100K 作为热敏电阻，并将其读数与温度计和模拟结果进行比较，以检查其可靠性。
分析
NTC 热敏电阻使用 Beta 公式来计算特定温度下的电阻。公式如下：
\frac{1}{T_1} = \frac{1}{T_0} + \frac{1}{\beta} \ln\left(\frac{R_1}{R_0}\right)
可以将 R_1 移到左边得到：
R_1 = R_0 e^{\beta(T_1^{-1} - T_0^{-1})}
由于我们想找出特定温度下的热敏电阻阻值。
所使用的热敏电阻是 NTC 100K，这意味着它在参考温度 25 \degree C 下的阻值为 100k \Omega
T_0 = 298.15K \\
R_0 = 100k \Omega
制造商提供的 \beta 值：
\beta = 3950
我们知道分压器公式为：
\frac{V_1}{V_2} = \frac{R_1}{R_2}
将它们组合起来，我们得到：
\frac{V_1}{V_2} = \frac{R_0 e^{\beta(T_1^{-1} - T_0^{-1})}}{R_2}
模拟
{{< figure src="Proof%20of%20Concept%20-%20Omega%20Lab%2001%20-%206%20-%20Simulation.avif" caption="概念验证 - Omega 实验室 01 - 6 - 模拟结果" width=600px >}}
我们得到了一个曲线，显示了温度在 T = 0 \degree C 到 T = 40 \degree C 范围内的关系。
对于 $T = 29.12 \degree C$，电压应为 4.465V
{{< figure src="Proof%20of%20Concept%20-%20Omega%20Lab%2001%20-%206%20-%20Simulation%20-%201.avif" caption="概念验证 - Omega 实验室 01 - 6 - 模拟结果 - 1" width=600px >}}
对于 $T = 27.3 \degree C$，电压应为 4.501V
{{< figure src="Proof%20of%20Concept%20-%20Omega%20Lab%2001%20-%206%20-%20Simulation%20-%202.avif" caption="概念验证 - Omega 实验室 01 - 6 - 模拟结果 - 2" width=600px >}}
对于 $T = 30.25 \degree C$，电压应为 4.441V
{{< figure src="Proof%20of%20Concept%20-%20Omega%20Lab%2001%20-%206%20-%20Simulation%20-%203.avif" caption="概念验证 - Omega 实验室 01 - 6 - 模拟结果 - 3" width=600px >}}
测量
{{< figure src="Proof%20of%20Concept%20-%20Omega%20Lab%2001%20-%206%20-%20Measurement.avif" caption="概念验证 - Omega 实验室 01 - 6 - 测量结果" width=600px >}}
我们使用了示波器中的数学函数：
1/((1/298.15)+(1/3950)*log((((10000*C1)/(5-C1))/100000),2.71828)) - 273.15
来获取温度读数（单位为 $\degree C$）。这是从以下公式得出的：
\frac{1}{T_1} = \frac{1}{T_0} + \frac{1}{\beta} \ln\left(\frac{R_1}{R_0}\right)
其中 T_1 是我们想要读取的温度。
然后，我们在 24 \degree C 下校准了热敏电阻。
{{< figure src="Proof%20of%20Concept%20-%20Omega%20Lab%2001%20-%206%20-%20Measurement%20-%202.avif" caption="概念验证 - Omega 实验室 01 - 6 - 测量结果 - 2" width=600px >}}
之后，我们进行了三次测量：
V = 4.465V, T = 29.12 \degree C
{{< figure src="Proof%20of%20Concept%20-%20Omega%20Lab%2001%20-%206%20-%20Measurement%20-%201.avif" caption="概念验证 - Omega 实验室 01 - 6 - 测量结果 - 1" width=600px >}}
V = 4.502V, T = 27.3 \degree C
{{< figure src="Proof%20of%20Concept%20-%20Omega%20Lab%2001%20-%206%20-%20Measurement%20-%203.avif" caption="概念验证 - Omega 实验室 01 - 6 - 测量结果 - 3" width=600px >}}
V = 4.441V, T = 30.25 \degree C
{{< figure src="Proof%20of%20Concept%20-%20Omega%20Lab%2001%20-%206%20-%20Measurement%20-%204.avif" caption="概念验证 - Omega 实验室 01 - 6 - 测量结果 - 4" width=600px >}}
讨论
| 温度 | 分析值 | 模拟值 | 实验值 | 差值 | 误差百分比 |
|---|---|---|---|---|---|
29.12 \degree C |
4.465V |
4.465V |
4.465V |
0V |
0\% |
27.3 \degree C |
4.501V |
4.501V |
4.502V |
1mV |
0.1\% |
30.25 \degree C |
4.441V |
4.441V |
4.441V |
0V |
0\% |
如我们所见，理论值与测量值之间的差异非常小。这可能是因为温度读数是通过电压计算得出的。
即使查看温度计的读数，两者都显示约为 $24 \degree C$。在最坏的情况下，误差为 $5%$。因此，总体而言，我们的读数是可靠的。
惠斯通电桥比普通分压器更灵敏，因为它的输出电压受电阻比例变化的影响较小。当惠斯通电桥平衡时（即 $R1/R2 = R3/R4$），中心的电流表中的电流为零。此时，计算出的阻值不再受到导线、电阻和伏特计固有电阻的影响，从而使得测量结果更准确。
优点：
- 惠斯通电桥比分压器更准确
- 电压源不需要校准即可测量阻值
缺点：
- 分压器更容易且成本更低制作
- 功耗较低